มีหลายวิธีการในการนิยามผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เช่น

เซซาโรและเฮิลเดอร์

กราฟแสดงผลรวม (H, 2) ของอนุกรม ซึ่งมีค่าเท่ากับ 1/4

การหาผลรวมเซซาโร (C, 1) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ทำโดยการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมจำกัดพจน์ ผลรวมจำกัดพจน์เหล่านั้นได้แก่

1, −1, 2, −2, 3, −3, …

ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ

1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7, …

ลำดับดังกล่าวเป็นลำดับลู่ออก ดังนั้นจึงไม่สามารถหาผลรวมเซซาโรของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้

มีอย่างน้อยสองวิธีในการขยายผลรวมเซซาโรไปสู่รูปทั่วไป วิธีแรกประกอบด้วยลำดับของวิธีการ (H, n) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ เริ่มจาก (H, 1) คือผลรวมเซซาโร และผลรวมขั้นที่สูงขึ้นเกิดจากการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมขั้นที่ต่ำกว่าซ้ำอีกครั้ง เช่น ในตัวอย่างข้างต้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์คู่ลู่เข้าสู่ 1/2 ส่วนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์คี่เป็นศูนย์เสมอ ดังนั้น หากเราหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเฉลี่ยเลขคณิตเหล่านั้นทั้งหมดอีกครั้ง คำตอบที่ได้จะลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 0 และ 1/2 นั่นคือ 1/4[8] ดังนั้น 1 − 2 + 3 − 4 + ... สามารถหาผลรวมได้แบบ (H, 2) ซึ่งเท่ากับ 1/4

อักษร "H" มาจากชื่อของ ออทโท เฮิลเดอร์ ซึ่งเป็นผู้พิสูจน์ถึงความเชื่อมโยงระหว่างผลรวมอาเบลและผลรวม (H, n) ในปี พ.ศ. 2425 โดยอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นตัวอย่างแรกที่เขาใช้[9] การที่ 1/4 เป็นผลรวม (H, 2) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้ยืนยันว่ามันเป็นผลรวมอาเบลของอนุกรมดังกล่าวเช่นกัน

อีกวิธีหนึ่งในการขยายผลรวมเซซาโรไปสู่รูปทั่วไปประกอบด้วยลำดับของวิธีการ (C, n) ซึ่งได้มีการพิสูจน์ว่าผลรวม (C, n) และ (H, n) จะมีค่าเท่ากันเสมอ แม้ว่าวิธีทั้งสองจะมีที่มาแตกต่างกัน ในปี พ.ศ. 2430 เซซาโรได้ยกตัวอย่างของการหาผลรวม (C, n) จำนวนหนึ่ง และได้นิยามวิธีการดังกล่าวอย่างเป็นทางการในปี พ.ศ. 2433 พร้อมกับเสนอทฤษฎีบทของเขาที่พิสูจน์ว่าผลคูณโคชีของอนุกรมที่หาผลรวมได้แบบ (C, m) และอนุกรมที่หาผลรวมได้แบบ (C, n) จะหาผลรวมได้แบบ (C, m + n + 1)[10]

ผลรวมอาเบล

กราฟแสดงค่าของ 1−2x+3x2+…; 1/(1 + x) 2 และลิมิตที่ 1

จากรายงานใน พ.ศ. 2292 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ยอมรับว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก แต่ต้องการที่จะหาผลรวมให้ได้:

...หากบอกว่าผลรวมของอนุกรม 1−2+3−4+5−6+... คือ 1/4 มันจะดูขัดแย้ง เมื่อหาผลรวม 100 พจน์แรกของอนุกรม เราจะได้ -50 แต่ผลรวมของ 101 พจน์แรกคือ +51 ซึ่งแตกต่างจาก 1/4 เป็นอย่างมาก และจะยิ่งเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อเราเพิ่มจำนวนพจน์ แต่ข้าพเจ้าได้สังเกตมาก่อนแล้วว่า มีความจำเป็นที่จะต้องนิยามคำว่า ผลรวม ให้มีความหมายที่กว้างขึ้น...[11]

ออยเลอร์ได้เสนอรูปทั่วไปของคำว่า "ผลรวม" หลายครั้ง ในกรณีของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... แนวคิดของเขาคล้ายคลึงกับผลรวมอาเบล:

...ไม่ต้องเป็นที่สงสัยเลยว่า ผลรวมของ 1−2+3−4+5−6+... คือ 1/4 เนื่องจากมันเกิดจากการกระจาย 1/ (1+1)2 ซึ่งเป็นที่แน่ชัดว่ามีค่าเท่ากับ 1/4 แนวคิดนี้จะยิ่งเห็นได้ชัดเมื่อพิจารณาอนุกรมในรูปทั่วไป 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + ... ซึ่งเกิดจากการกระจาย 1/ (1+x)2 ซึ่งมันจะเท่ากับอนุกรมนี้เมื่อเราแทน x = 1[12]

สำหรับจำนวนจริง x ที่มีค่าสัมบูรณ์ |x| < 1 จะได้ว่า

1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ = 1 ( 1 + x ) 2 {\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของฝั่งขวาของสมการ หรือโดยขั้นตอนการหารยาวพหุนาม หากเริ่มจากฝั่งซ้ายของสมการ เราสามารถคูณ (1+x) สองครั้ง หรือสามารถยกกำลังสองอนุกรมเรขาคณิต 1 − x + x2 − .... นอกจากนี้ ออยเลอร์ได้แนะนำให้หาอนุพันธ์ทีละพจน์ของอนุกรมดังกล่าว[13]

ในมุมมองปัจจุบัน อนุกรม 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + … ไม่นิยามเป็นฟังก์ชันเมื่อ x = 1 เราจึงไม่สามารถแทนค่า x = 1 โดยตรงเพื่อให้เกิดนิพจน์ดังกล่าวได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้ได้นิยามค่าสำหรับทุก |x| < 1 เราจึงสามารถหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ได้ และเป็นนิยามของผลรวมอาเบลดังนี้

lim x → 1 − ∑ n = 1 ∞ n ( − x ) n − 1 = lim x → 1 − 1 ( 1 + x ) 2 = 1 4 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}

ออยเลอร์และบอแรล

แผนภาพแสดงผลรวมออยเลอร์ 1/2 − 1/4

ออยเลอร์ได้พัฒนาวิธีการอื่นในการหาผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เรียกว่าการแปลงออยเลอร์ วิธีคำนวณการแปลงออยเลอร์นั้นเริ่มจากลำดับของจำนวนเต็มบวกที่ประกอบกันเป็นอนุกรมสลับ ได้แก่ 1, 2, 3, 4, … เรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า a0

จากนั้น สร้างลำดับของผลต่างของพจน์ถัดกันในลำดับ 1, 2, 3, 4, ... ซึ่งจะได้ลำดับ 1, 1, 1, 1, … และเรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า Δa0 การแปลงออยเลอร์นั้นขึ้นกับลำดับที่เกิดจากการหาผลต่างของพจน์ถัดกันของลำดับนี้ในขั้นที่สูงขึ้นไปเรื่อย ๆ แต่ในกรณีนี้ลำดับขั้นต่อ ๆ ไปจะเป็นศูนย์ทั้งหมด การแปลงออยเลอร์ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … นิยามโดย

1 2 a 0 − 1 4 Δ a 0 + 1 8 Δ 2 a 0 − ⋯ = 1 2 − 1 4 = 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}={\frac {1}{4}}}

จึงกล่าวได้ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … สามารถหาผลรวมแบบออยเลอร์ได้ ซึ่งเท่ากับ 1/4

ผลรวมออยเลอร์ยังนำไปสู่การหาผลรวมของอนุกรมในวิธีอื่น เริ่มจากการเขียนอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ในรูป

∑ k = 0 ∞ a k = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)}

เราจะได้อนุกรมที่ลู่เข้าทุกจุด

a ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) x k k ! = e − x ( 1 − x ) {\displaystyle a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x)}

ผลรวมบอแรลของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... จึงมีค่าเท่ากับ[14]

∫ 0 ∞ e − x a ( x ) d x = ∫ 0 ∞ e − 2 x ( 1 − x ) d x = 1 2 − 1 4 = 1 4 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}={\frac {1}{4}}}

การแยกสเกล

ไซเชฟและวอยซีนสกีได้แสดงว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4 โดยใช้หลักการทางฟิสิกส์เรื่องการคลายตัวในปริมาณเล็กน้อย (infinitesimal relaxation) และการแยกสเกล (separation of scales) หลักการเหล่านี้ได้นำไปสู่นิยามของกลุ่มของ "วิธีการหาผลรวมแบบ φ" ซึ่งวิธีการทั้งหมดหาผลรวมของอนุกรมนี้ได้เท่ากับ 1/4

• ถ้า φ (x) เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งและลำดับที่สองได้ในช่วง (0, ∞) โดยที่ φ (0) = 1 และลิมิตของ φ (x) และ xφ (x) เข้าสู่ +∞ เป็นศูนย์ แล้วจะได้ว่า[15]

lim δ ↓ 0 ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m ( m + 1 ) φ ( δ m ) = 1 4 {\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}}

ผลลัพธ์ดังกล่าวเป็นรูปทั่วไปของผลรวมอาเบล ซึ่งเกิดจากการให้ φ (x) = exp (−x) ผลลัพธ์ในรูปทั่วไปนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการจับคู่พจน์ในอนุกรมและแปลงนิพจน์ให้เป็นอินทิกรัลแบบรีมันน์ การพิสูจน์อนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + ... ด้วยวิธีเดียวกันอาศัยทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยในการพิสูจน์ แต่สำหรับอนุกรมนี้ต้องอาศัยทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ในรูปแบบลากร็องฌ์